চাকরির পরীক্ষার গণিত: ১২টি গুরুত্বপূর্ণ অংক ও সমাধান |Math solution
চাকরির পরীক্ষার গণিত: ১২টি গুরুত্বপূর্ণ অংক ও সমাধান
চাকরির পরীক্ষায় যে ১২ টি অংক বার বার আসে
 |
চাকরির পরীক্ষার গণিত: ১২টি গুরুত্বপূর্ণ অংক ও সমাধান |
ভূমিকা
প্রতিযোগিতামূলক পরীক্ষায় গণিত বিষয়টি একটি অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ অধ্যায়। বিশেষ করে বাংলাদেশে অনুষ্ঠিত বিভিন্ন সরকারি চাকরি, ব্যাংক নিয়োগ এবং বিসিএস পরীক্ষায় গণিত থেকে প্রচুর সংখ্যক প্রশ্ন আসে। অনেক প্রার্থী গণিতের জটিলতা এবং সময়ের অভাবে এই অংশটিতে পিছিয়ে পড়েন। কিন্তু সঠিক কৌশল এবং শর্টকাট ট্রিকস জানা থাকলে গণিতের অংকগুলো খুব সহজে এবং দ্রুত সমাধান করা সম্ভব।
আজকের এই আলোচনায় আমরা মূলত 'ম্যাথস মজা' চ্যানেলের সুকুমার সেন স্যারের ক্লাস থেকে নেওয়া ১২টি গুরুত্বপূর্ণ গণিত অংক নিয়ে বিস্তারিত আলোচনা করব। এই অংকগুলো বারবার বিভিন্ন পরীক্ষায় আসে। তাই এই অংকগুলোর সমাধান পদ্ধতি এবং শর্টকাট ট্রিকস আয়ত্ত করে নিলে আপনার পরীক্ষার প্রস্তুতি অনেক বেশি শক্তিশালী হবে। এই আর্টিকেলটি সম্পূর্ণ এমসিকিউ (MCQ) ফরম্যাটে সাজানো হয়েছে, যাতে আপনি নিজেই প্রশ্ন সমাধান করে দেখতে পারেন এবং পরে সমাধানের সাথে মিলিয়ে নিতে পারেন। চলুন তবে শুরু করা যাক আমাদের গণিতের যাত্রা।
অংশ ১: গড় নির্ণয় সংক্রান্ত অংক (Average Problems)
গড় বা এভারেজ নির্ণয় করা গণিতের একটি মৌলিক কিন্তু অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ অংশ। চাকরির পরীক্ষায় ক্রমিক সংখ্যার গড় বের করার প্রশ্ন প্রায়ই আসে।
প্রশ্ন ১: ১ হতে ৫৯ পর্যন্ত ক্রমিক সংখ্যাগুলোর গড় কত?
ক) ২৮
খ) ২৯
গ) ৩০
ঘ) ৩১
খ) ২৯
গ) ৩০
ঘ) ৩১
সঠিক উত্তর: গ) ৩০
বিস্তারিত সমাধান:
এই অংকটি সমাধান করার জন্য আমাদের প্রথমে বুঝতে হবে ক্রমিক সংখ্যা কী। ক্রমিক সংখ্যা বলতে বোঝায় এমন সংখ্যাগুলোকে যেগুলো পর পর সাজানো থাকে, যেমন- ১, ২, ৩, ৪... ইত্যাদি। গড় নির্ণয়ের সাধারণ সূত্র হলো: রাশির সমষ্টি ভাগ রাশির সংখ্যা।
দীর্ঘ পদ্ধতি:
প্রথমে আমাদের ১ থেকে ৫৯ পর্যন্ত সংখ্যাগুলোর যোগফল বের করতে হবে। ক্রমিক সংখ্যার সমষ্টি বের করার সূত্র হলো: । এখানে হলো শেষ সংখ্যা।
সুতরাং, সমষ্টি = ।
এখন, মোট সংখ্যা রয়েছে ৫৯টি।
গড় = সমষ্টি / সংখ্যা = ।
শর্টকাট পদ্ধতি:
যখন কোনো ক্রমিক সংখ্যার গড় বের করতে বলা হয়, তখন একটি সুপার শর্টকাট পদ্ধতি প্রয়োগ করা যায়। সূত্রটি হলো: (প্রথম সংখ্যা + শেষ সংখ্যা) / ২।
এখানে প্রথম সংখ্যা ১ এবং শেষ সংখ্যা ৫৯।
গড় = ।
এই পদ্ধতিটি ব্যবহার করে আপনি মাত্র কয়েক সেকেন্ডে উত্তর বের করতে পারবেন।
প্রশ্ন ২: ১ হতে ৬৫ পর্যন্ত ক্রমিক সংখ্যাগুলোর গড় কত?
ক) ৩২
খ) ৩৩
গ) ৩৪
ঘ) ৩৫
খ) ৩৩
গ) ৩৪
ঘ) ৩৫
সঠিক উত্তর: খ) ৩৩
বিস্তারিত সমাধান:
এই প্রশ্নটি আগের প্রশ্নের অনুরূপ। এখানেও ক্রমিক সংখ্যার গড় বের করতে বলা হয়েছে। তাই আমরা সরাসরি শর্টকাট পদ্ধতিটি প্রয়োগ করব।
সূত্র: (প্রথম সংখ্যা + শেষ সংখ্যা) / ২।
প্রথম সংখ্যা = ১, শেষ সংখ্যা = ৬৫।
গড় = ।
লক্ষ্য করুন, দীর্ঘ পদ্ধতিতে সমষ্টি বের করে ভাগ করতে অনেক সময় লাগে, কিন্তু শর্টকাট পদ্ধতিতে মানসিক গণনার মাধ্যমেই উত্তর পাওয়া যায়। পরীক্ষার হলে সময় বাঁচাতে এই পদ্ধতিটি অবশ্যই আয়ত্ত করুন।
অংশ ২: ধারা সম্পর্কিত অংক (Series Completion Problems)
ধারা বা সিরিজ সম্পর্কিত অংকগুলো প্রার্থীদের জন্য একটু চ্যালেঞ্জিং হতে পারে। তবে পর্যবেক্ষণ ক্ষমতা ভালো থাকলে এই অংকগুলো সহজেই সমাধান করা যায়।
প্রশ্ন ৩: ১, ৫, ১৩, ২৯, ৬১, ... ধারাটির পরবর্তী সংখ্যাটি কত?
ক) ৭৬
খ) ১০২
গ) ১০৬
ঘ) ১২৫
খ) ১০২
গ) ১০৬
ঘ) ১২৫
সঠিক উত্তর: ঘ) ১২৫
বিস্তারিত সমাধান:
এই ধারাটিতে সংখ্যাগুলোর মধ্যে সম্পর্ক খুঁজে বের করতে হবে। চলুন প্রতিটি পদের মধ্যে পার্থক্য লক্ষ্য করি:
১ থেকে ৫ = বৃদ্ধি ৪
৫ থেকে ১৩ = বৃদ্ধি ৮
১৩ থেকে ২৯ = বৃদ্ধি ১৬
২৯ থেকে ৬১ = বৃদ্ধি ৩২
এখানে বৃদ্ধির হারগুলো হলো: ৪, ৮, ১৬, ৩২। লক্ষ্য করুন, প্রতিবার বৃদ্ধির হার দ্বিগুণ হচ্ছে (জ্যামিতিক ধারা)।
৪ এর পর ৮ (৪×২)
৮ এর পর ১৬ (৮×২)
১৬ এর পর ৩২ (১৬×২)
সুতরাং, ৩২ এর পরবর্তী বৃদ্ধি হবে ৬৪ (৩২×২)।
অতএব, পরবর্তী সংখ্যাটি হবে = ৬১ + ৬৪ = ১২৫।
এই ধরনের অংকে বৃদ্ধির হারের ধারাটি খুঁজে বের করাটাই মূল চাবিকাঠি।
প্রশ্ন ৪: ৫, ৮, ১৪, ২৬, ৫০, ... ধারাটির পরবর্তী সংখ্যা কত?
ক) ৯৮
খ) ১০০
গ) ৯৬
ঘ) ১০২
খ) ১০০
গ) ৯৬
ঘ) ১০২
সঠিক উত্তর: ক) ৯৮
বিস্তারিত সমাধান:
আগের অংকের মতোই এখানেও আমাদের বৃদ্ধির হার লক্ষ্য করতে হবে।
৫ থেকে ৮ = বৃদ্ধি ৩
৮ থেকে ১৪ = বৃদ্ধি ৬
১৪ থেকে ২৬ = বৃদ্ধি ১২
২৬ থেকে ৫০ = বৃদ্ধি ২৪
বৃদ্ধির হারগুলো হলো: ৩, ৬, ১২, ২৪। এখানেও প্রতিবার বৃদ্ধি দ্বিগুণ হচ্ছে।
৩ এর পর ৬ (৩×২)
৬ এর পর ১২ (৬×২)
১২ এর পর ২৪ (১২×২)
সুতরাং, ২৪ এর পরবর্তী বৃদ্ধি হবে ৪৮ (২৪×২)।
অতএব, পরবর্তী সংখ্যাটি হবে = ৫০ + ৪৮ = ৯৮।
ধারা সম্পর্কিত অংকগুলো করার সময় সর্বোচ্চ সতর্কতা অবলম্বন করতে হয় যে সংখ্যাগুলো কীভাবে বৃদ্ধি বা হ্রাস পাচ্ছে।
প্রশ্ন ৫: ২, ৪, ৩, ৭, ৪, ১০, ৫, ... ধারাটির দশম পদ কত হবে?
ক) ১৪
খ) ১৫
গ) ১৬
ঘ) ১৭
খ) ১৫
গ) ১৬
ঘ) ১৭
সঠিক উত্তর: গ) ১৬
বিস্তারিত সমাধান:
এই ধারাটি একটু ভিন্ন ধরনের। এখানে একটি মাত্র ধারা না হয়ে দুটি ধারা মিশ্রিত হয়ে আছে। চলুন সংখ্যাগুলো পর্যায়ক্রমে সাজিয়ে দেখি:
প্রথম ধারা (বিজোড় পদ): ২, ৩, ৪, ৫, ... (এখানে প্রতিবার ১ করে বৃদ্ধি পাচ্ছে)
দ্বিতীয় ধারা (জোড় পদ): ৪, ৭, ১০, ... (এখানে প্রতিবার ৩ করে বৃদ্ধি পাচ্ছে)
আমাদের বের করতে হবে দশম পদ। যেহেতু ১০ একটি জোড় সংখ্যা, তাই এটি দ্বিতীয় ধারার অন্তর্ভুক্ত হবে।
দ্বিতীয় ধারাটি হলো: ৪, ৭, ১০, ...
২য় পদ = ৪
৪র্থ পদ = ৭
৬ষ্ঠ পদ = ১০
৮ম পদ = ১৩ (১০ + ৩)
১০ম পদ = ১৬ (১৩ + ৩)
অথবা সরাসরি জোড় পদগুলোর ধারা দেখলে পাওয়া যায়: ৪, ৭, ১০, ১৩, ১৬। সুতরাং দশম পদটি হবে ১৬। অনেক সময় ধারার অংকে দুটি ধারা মিশ্রিত থাকে, সেটা খেয়াল রাখা জরুরি।
অংশ ৩: দশমিক গণিত (Decimal Calculations)
দশমিক যুক্ত অংকগুলো দেখতে জটিল মনে হলেও নিয়ম জান থাকলে খুব দ্রুত সমাধান করা যায়।
প্রশ্ন ৬: এর মান কত?
ক) ০.০১
খ) ০.১
গ) ১.০
ঘ) ১০.০
খ) ০.১
গ) ১.০
ঘ) ১০.০
সঠিক উত্তর: খ) ০.১
বিস্তারিত সমাধান:
এই ধরনের অংকে দশমিকের ঘর গুনে সময় নষ্ট না করে একটি কৌশল অবলম্বন করা যায়।
লব (উপরের অংশ):
হর (নিচের অংশ):
যদি লব এবং হরে দশমিকের পরে সমান সংখ্যক ঘর থাকে, তবে দশমিক বাদ দিয়ে সরাসরি সংখ্যাগুলো দিয়ে গণনা করা যায়। কিন্তু এখানে ঘর সমান নয়। তাই আমরা দশমিক সরিয়ে পূর্ণ সংখ্যায় নিয়ে আসি।
লবের সংখ্যাগুলো: ১, ১, ৪ (মোট দশমিকের পরে ২+২+৩ = ৭ ঘর)
হরের সংখ্যাগুলো: ২, ২ (মোট দশমিকের পরে ৩+৩ = ৬ ঘর)
সুতরাং, অংকটি দাঁড়ায়: এবং দশমিকের অবস্থান হবে (৭ - ৬) = ১ ঘর ডানদিকে।
গুণফল: ।
এখন দশমিক বসাতে হবে ১ ঘর ডানদিকে। তাই উত্তর হবে ০.১।
অথবা সহজভাবে, লবের দশমিক ৭ ঘর এবং হরের দশমিক ৬ ঘর। নেট দশমিক ১ ঘর লবে থাকবে। সংখ্যাগুলো কাটাকাটি করে ১ পাওয়া যাচ্ছে। তাই উত্তর ০.১।
প্রশ্ন ৭: এর মান কত? (অনুশীলনী)
ক) ০.১
খ) ০.২
গ) ০.৩
ঘ) ০.৪
খ) ০.২
গ) ০.৩
ঘ) ০.৪
সঠিক উত্তর: ক) ০.১
বিস্তারিত সমাধান:
এটি একটি অনুশীলনীমূলক অংক যা দশমিক গণিতের দক্ষতা বাড়াবে।
লব: (দশমিকের পর মোট ৪ ঘর)
হর: (দশমিকের পর ৩ ঘর)
ভাগফল:
দশমিক সরিয়ে লিখলে: ।
এখানে লক্ষ্যণীয় যে, দশমিকের ঘর মিলিয়ে নিলে ভুল হওয়ার সম্ভাবনা কমে যায়। তাই দশমিক সরিয়ে পূর্ণ সংখ্যায় রূপান্তর করে নেওয়াই বুদ্ধিমানের কাজ।
অংশ ৪: বীজগণিত সমস্যা (Algebraic Problems)
বীজগণিতের মৌলিক সমস্যাগুলো চাকরির পরীক্ষায় খুব সাধারণ কিন্তু গুরুত্বপূর্ণ।
প্রশ্ন ৮: একটি সংখ্যার তিন গুণের সাথে দ্বিগুণ যোগ করলে ৯০ হয়। সংখ্যাটি কত?
ক) ২৪
খ) ২০
গ) ১৮
ঘ) ১৬
খ) ২০
গ) ১৮
ঘ) ১৬
সঠিক উত্তর: গ) ১৮
বিস্তারিত সমাধান:
এই অংকটি সমাধান করার জন্য আমাদের একটি অজানা সংখ্যা ধরে নিতে হবে।
ধরি, সংখ্যাটি = ।
প্রশ্নমতে, সংখ্যাটির তিন গুণ = ।
সংখ্যাটির দ্বিগুণ = ।
শর্তানুসারে, ।
বা, ।
বা, ।
বা, ।
সুতরাং, নির্ণেয় সংখ্যাটি ১৮।
বীজগণিতের অংকগুলোতে প্রশ্নের ভাষা থেকে সমীকরণ গঠন করতে পারাটা সবচেয়ে জরুরি। একবার সমীকরণ তৈরি হয়ে গেলে উত্তর বের করা সহজ।
অংশ ৫: অতিরিক্ত প্র্যাকটিস অংক (Additional Practice)
উপরের ৮টি অংকের পাশাপাশি আরও ৪টি অনুরূপ অংক নিচে দেওয়া হলো যা আপনার প্রস্তুতি সম্পূর্ণ করবে।
প্রশ্ন ৯: ১ হতে ৯৯ পর্যন্ত ক্রমিক সংখ্যাগুলোর গড় কত?
ক) ৪৯
খ) ৫০
গ) ৫১
ঘ) ৫৫
খ) ৫০
গ) ৫১
ঘ) ৫৫
সঠিক উত্তর: খ) ৫০
সমাধান: শর্টকাট সূত্র: ।
প্রশ্ন ১০: ৩, ৬, ১২, ২৪, ... ধারাটির পরবর্তী সংখ্যা কত?
ক) ৩৬
খ) ৪২
গ) ৪৮
ঘ) ৫০
খ) ৪২
গ) ৪৮
ঘ) ৫০
সঠিক উত্তর: গ) ৪৮
সমাধান: প্রতিবার সংখ্যাটি দ্বিগুণ হচ্ছে। ২৪ এর দ্বিগুণ ৪৮।
প্রশ্ন ১১: এর মান কত?
ক) ০.৫
খ) ১
গ) ১.৫
ঘ) ২
খ) ১
গ) ১.৫
ঘ) ২
সঠিক উত্তর: খ) ১
সমাধান: ।
প্রশ্ন ১২: একটি সংখ্যার অর্ধেকের সাথে ১০ যোগ করলে ২৫ হয়। সংখ্যাটি কত?
ক) ২০
খ) ২৫
গ) ৩০
ঘ) ৩৫
খ) ২৫
গ) ৩০
ঘ) ৩৫
সঠিক উত্তর: গ) ৩০
সমাধান: ধরি সংখ্যা । => => ।
গণিত প্রস্তুতির জন্য কিছু জরুরি টিপস
চাকরির পরীক্ষায় গণিতে ভালো করার জন্য কেবল অংক জানলেই চলে না, সঠিক কৌশলও প্রয়োজন।
১. মৌলিক বিষয়গুলো শক্ত করুন: যোগ, বিয়োগ, গুণ, ভাগ এবং শতকরা সম্পর্কিত মৌলিক ধারণাগুলো পরিষ্কার রাখুন।
২. শর্টকাট ট্রিকস শিখুন: উপরে আলোচিত গড় নির্ণয় বা ধারার অংকের মতো শর্টকাট পদ্ধতিগুলো আয়ত্ত করুন। এতে সময় বাঁচবে।
৩. নিয়মিত অনুশীলন: প্রতিদিন অন্তত ১০টি করে বিভিন্ন ধরনের অংক সমাধান করার চেষ্টা করুন।
৪. সময় ব্যবস্থাপনা: পরীক্ষার হলে কঠিন অংকে বেশি সময় না দিয়ে সহজ অংকগুলো আগে সমাধান করার চেষ্টা করুন।
৫. ভুল থেকে শেখা: যে অংকগুলো ভুল হয়, সেগুলো নোট করে রাখুন এবং কেন ভুল হলো তা বিশ্লেষণ করুন।
উপসংহার
চাকরির পরীক্ষার গণিত অংশটি ভয়ের কিছু নয়, যদি সঠিক গাইডলাইন এবং অনুশীলনের মাধ্যমে এগোনো যায়। সুকুমার সেন স্যারের ম্যাথস মজা চ্যানেলের এই ১২টি অংক মূলত সেইসব টপিককে কেন্দ্র করে সাজানো যা বারবার পরীক্ষায় আসে। গড় নির্ণয়, ধারা সম্পর্কিত অংক, দশমিক গণিত এবং বীজগণিত—এই চারটি মূল স্তম্ভের ওপর ভিত্তি করে বেশিরভাগ প্রশ্ন তৈরি হয়। এই আর্টিকেলের এমসিকিউগুলো বারবার সমাধান করুন এবং শর্টকাট পদ্ধতিগুলো মনে গেঁথে নিন। আশা করি, এই গাইডলাইনটি আপনার চাকরির প্রস্তুতিতে সহায়ক হবে। শুভকামনা রইল আপনার জন্য।
প্রায়শই জিজ্ঞাসিত প্রশ্ন (FAQ)
প্রশ্ন: চাকরির পরীক্ষার গণিতের জন্য কোন বইটি সেরা?
উত্তর: মৌলিক গণিত বইটি শুরু করার জন্য সেরা, তবে শর্টকাটের জন্য বিভিন্ন অনলাইন রিসোর্স এবং ভিডিও টিউটোরিয়াল দেখতে পারেন।
প্রশ্ন: গণিতের অংক দ্রুত করার উপায় কী?
উত্তর: নিয়মিত প্র্যাকটিস এবং শর্টকাট ট্রিকস ব্যবহার করলে গণিতের অংক দ্রুত করা সম্ভব।
প্রশ্ন: ধারা সম্পর্কিত অংক কি সবসময় কঠিন হয়?
উত্তর: না, পর্যবেক্ষণ ক্ষমতা বাড়ালে ধারা সম্পর্কিত অংকগুলো সহজেই সমাধান করা যায়।
প্রশ্ন: দশমিকের অংক করতে ভয় লাগে, কী করব?
উত্তর: দশমিক সরিয়ে পূর্ণ সংখ্যায় নিয়ে আসার পদ্ধতিটি শিখলে এই ভয় কেটে যাবে।
প্রশ্ন: কতদিন প্র্যাকটিস করলে গণিত ভালো হবে?
উত্তর: কমপক্ষে ৩ মাস নিয়মিত প্র্যাকটিস করলে গণিতের ওপর দখল তৈরি হয়।
চাকরির পরীক্ষার গণিত: ১২টি গুরুত্বপূর্ণ অংক ও সমাধান চাকরির পরীক্ষার গণিত, গণিত শর্টকাট ট্রিকস, গড় নির্ণয়ের নিয়ম
ধারা সম্পর্কিত অংক, দশমিক গণিত সমাধান, বীজগণিত সমস্যা, গণিত MCQ সমাধান, ব্যাংক নিয়োগ পরীক্ষা
